Réflexion sur une propriété étonnante du flocon de Koch

Bonsoir,

Connaissez-vous le flocon de Koch ?
Petit rappel :

Le flocon de Koch est l’une des premières courbes fractales à avoir été décrites.
Le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch#Flocon_de_Koch

Sur base de cette dernière propriété étonnante, pensez-vous qu’il est possible de relier les deux points $(0, 0)$ et $(1, 0)$ du plan $\mathbb R^2$ à l’aide d’une courbe infiniment longue sans s’éloigner de ces points à l’infini ?

Quid d’un truc comme $x\mapsto x\sin(1/x)$ ? C’est moins sexy que les flocons de Koch mais je pense que ça vérifie bien tes propriétés.

Oui, tu peux utiliser une courbe de Hilbert dans la zone $(0, 0)$ à $(1, 1)$ avec la rotation qu’il te faut pour avoir le bon point de départ et d’arrivé.

Il est aussi possible d’avoir une courbe encore plus simple. Par exemple, si tu démarre en $(0, 0)$ et qu’à l’étape $N$ tu alternes entre $(1/N, 1)$ et $(0, 1-1/N)$. La courbe démarre clairement en $(0, 0)$ mais l’arrivé en $(0, 1)$ se fait uniquement par convergence.

Edit: pour la longueur infinie de mon example, j’ai la flemme de faire une démonstration précise. Si je me trompe pas, la longueur d’un segment à l’étape $N$ est en gros $1/N$, ce qui donne une longueur du même genre que la série harmonique qui diverge.

J’ai rectifié : je voulais parler des points (0, 0) et (1, 0).

La fonction ne passe pas en (1, 0) mais l’idée est là en effet.

Cool, je ne connaissais pas les courbes de Hilbert ça a l’air amusant ! C’est impressionnant de voir qu’une courbe est capable de recouvrir tout un espace en dimension 2, j’imagine que ça démontre la longueur infinie comme ça.

Je pensais à la même chose au départ

Le plus semble me semblerait être une sinusoïdale entre tes deux points, avec une fréquence infiniment petite et une amplitude non nulle.

La fonction ne passe pas en (1, 0) mais l’idée est là en effet.

Oui enfin le point d’arrivée n’a aucun intérêt. Tu peux prendre n’importe quel exemple ci-dessus et coller un segment de droite jusqu’à $(1,0)$ à la fin…

La particularité de $x\mapsto x \sin(1/x)$ c’est qu’elle correspond au graphe d’une fonction (à valeurs réelles). En fait si on essaye de prouver qu’elle est bien de longueur infinie (le sup des longueurs des courbes "polygonales" inscrites dedans) on peut retrouver une version "unidimensionnelle" de l’exemple donné par @Berdes, en considérant les points $(1/n,(-1)^n/n)_{n\ge 1}$ et en les reliant par des segments de droite.

À vrai dire, je ne sais pas comment donner un sens mathématique à l’objet de @entwanne (je ne crois pas qu’il y ait des courbes de Peano aussi simples).

J’imaginais juste une fonction $f(x) = sin(Nx \times 2\pi)$ qui pour x entre 0 et 1 joindra les points $(0,0)$ et $(1,0)$, ne couvrira pas plus que l’aire du rectangle $(0,-1);(0,1);(1,1);(1,-1)$ et dont la longueur tendra vers l’infini quand N tendra vers l’infini.

oui mais c´est pas clair qu´en faisant tendre N vers l´infini tu aies une fonction bien définie

De même que pour un flocon de Koch développé à l’infini, non ?

la construction converge, donc si, tu peux dire vers quoi chaque point converge très précisément

Je ne comprends où est le souci, pourrais-tu développer stp ?

Si tu regardes $f_n(x) = \sin(nx)$, alors en fixant $x$, il est impossible de dire quelle sera la valeur de $f_n(x)$ quand $n\to \infty$ : ça ne converge pas.

En revanche, avec le flocon de van Koch, comme on a un objet limite, chaque point a bien une position déterminée.