Interpréter lim xe^x

Bonzour,

Je me demande bien comment interpréter la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} x e^x = 0$.

Parce que tel que je le comprend, si je ne fais pas d’erreur, cela signifie que $e^x$ est négligeable devant $\dfrac{1}{x}$ au voisinage de $-\infty$.

En effet, $e^x \times \dfrac{1}{(\dfrac{1}{x})} = x e^x \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow -\infty$.

Mais alors, puisque l’on a aussi $x \times \dfrac{1}{(\dfrac{1}{e^x})} = x e^x$, cela veux dire que à la fois $x = o(\dfrac{1}{e^x})$ et $e^x = o(\dfrac{1}{x})$ au voisinage de $-\infty$…

Comment visualiser ça?

Salut,

Je comprends pas ton problème, si $a$ est petit devant $b$, forcément $1/a$ est grand devant $1/b$.

Le premier tend vers $-\infty$ :

Le deuxième lui tend vers $0$ et ce très rapidement ($\exp{(-100)} \propto 10^{-44}$) :

Cela revient à comparer, à $x$ identique (par exemple $x = -100$) lequel aura le plus de poids dans l’opération. La première citée ici ($\lim_{x \to -\infty} x$), est négligeable, moins rapide, devant celle de la seconde ($\lim_{x \to -\infty} \exp{(x)}$). L’un sera très loin d’avoir attend une valeur $-\infty$ et l’autre sera déjà approximé à zéro au même moment.

Donc on a :

Si tu es d’accord que

$\lim_{+\infty} \frac{e^x}{x} =+\infty$

alors en passant à l’inverse :

$\lim_{+\infty} \frac{x}{e^x} =0$

Mais maintenant

$\frac{x}{e^x}= -(-x)e^{-x}$

Et il te reste à faire le changement de variable X=-x

Merci pour vos explications.