Calcul d'une dérivée partielle à plusieurs variables

Bonjour.

J’ai besoin d’un coup de main pour l’exercice suivant :
Soit $f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ une fonction différentiable homogène de degré $n$, c’est-à-dire que $f(\lambda \vec r) = \lambda^n f(\vec r)$ pour tout $\vec r \in \mathbb R^3$ et pour tout $\lambda \geq 0$.

Calculer $\dfrac{\partial f}{\partial x}$.

D’après mes calculs, pour tout $\vec r \in \mathbb R^3$ :

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r) = \lambda^n f'(\vec r)$

Je pense que c’est une mauvaise réponse parce que je n’ai pas dérivé l’argument de la fonction $f$, or sa dérivée étant un vecteur, ce n’est mathématiquement pas possible. Je pense pourtant savoir comment dériver une composée de fonctions, sauf qu’ici la formule ne semble pas fonctionner.

Edit : Merci d’avance pour votre aide !

or sa dérivée étant un vecteur, ce n’est mathématiquement pas possible

Si c’est possible. Si tu dérives un vecteur de position par rapport au temps … tu obtiens bien un vecteur (le vecteur vitesse).

Quels sont les calculs menant à la relation que tu as donnée ?

Je pense que c’est une mauvaise réponse parce que je n’ai pas dérivé l’argument de la fonction $f$, or sa dérivée étant un vecteur, ce n’est mathématiquement pas possible.

Je n’ai rien compris à cette phrase. Dériver l’argument d’une fonction ? Est-ce que $f'$ dans ton équation dénote la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ ?

Peut-être que c’est plus clair en coordonnées : $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^n f(x,y,z)$. On dérive cette relation en $x$, ça donne quoi ?

Je comprends pas exactement ce qui est attendu comme réponse à "calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$".

Quels sont les calculs menant à la relation que tu as donnée ?

Je m’excuse si c’était confus, je reprends mon raisonnement pas à pas.
Première étape triviale, définir la fonction recherchée :

$\dfrac{\partial f}{\partial x} : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R : \vec u \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u)$

Ensuite, j’ai posé $\vec r := \dfrac{\vec u}{\lambda}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda \vec r) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r)$       car $f$ est une fonction homogène de degré $n$.

On dérive cette relation en $x$, ça donne quoi ?

$f(\lambda, 0, 0) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)$
J’ai l’impression d’avoir écrit une énorme bêtise, du coup je pense que mon souci vient de là.

Je comprends pas exactement ce qui est attendu comme réponse à "calculer df/dx"

Il s’agit d’une étape contenue dans une démonstration qui cherche à montrer que :

$x \dfrac{\partial f}{\partial x} + y \dfrac{\partial f}{\partial y} + z \dfrac{\partial f}{\partial z}= nf$

…est toujours vraie sous les conditions de l’énoncé.

edit :

Si c’est possible. Si tu dérives un vecteur de position par rapport au temps … tu obtiens bien un vecteur (le vecteur vitesse).

Effectivement, je m’étais mal exprimé.
Du coup, je retire ce que j’ai dit.

Ensuite, j’ai posé $\vec r := \dfrac{\vec u}{\lambda}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda \vec r) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r)$       car $f$ est une fonction homogène de degré $n$.

Tu as fait comme si $\frac{\partial f}{\partial x}$ était homogène de degré $n$, ici.

J’ai l’impression que tu as fait la chose suivante (enfin j’invente un peu puisque tu n’as pas donné beaucoup de détail).

$\frac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \frac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] = \frac{\partial}{\partial x}[\lambda^n f(x, y, z)] = \lambda^n \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)$

Mais la première égalité est fausse ! Il ne faut pas confondre.

On dérive cette relation en $x$, ça donne quoi ?

$f(\lambda, 0, 0) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)$
J’ai l’impression d’avoir écrit une énorme bêtise, du coup je pense que mon souci vient de là.

Désolé mais je ne vois pas comment tu arrives à ça. Pour le terme de droite c’est bon, mais selon toi, la dérivée en $x$ de $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ est $f(\lambda, 0, 0)$ ? Ça ne dépend même plus de $y$ ni de $z$ ? Là on a une fonction composée. Il s’agit de la composée de $x ↦ \lambda x$ et de $x ↦ f(x, \lambda y, \lambda z)$ (on fixe $\lambda$, $y$ et $z$). Comment dériver une fonction composée ?

Il s’agit d’une étape contenue dans une démonstration qui cherche à montrer que :

$x \dfrac{\partial f}{\partial x} + y \dfrac{\partial f}{\partial y} + z \dfrac{\partial f}{\partial z}= nf$

…est toujours vraie sous les conditions de l’énoncé.

Je ne trouve pas que ce soit une très bonne idée de formuler cette relation en coordonnée et je n’ai aucune idée du chemin indiqué par l’exercice en "calculant $\frac{\partial f}{\partial x}$".

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en $\lambda$ la relation $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^n f(x,y,z)$.

Mais la première égalité est fausse ! Il ne faut pas confondre.
Comment dériver une fonction composée ?

Ah oui je me suis trompé… du coup si j’ai bien compris, un exemple facile :

Soit $f \in C^1(\mathbb R, \mathbb R) :$

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}[f(\lambda x)] = \lambda \ \dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}(\lambda x)$

Maintenant, je reprends le membre de gauche $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ :

$\dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) . \dfrac{\partial}{\partial x}[\lambda x] = \lambda \ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en λ la relation…

Avant ça, pourrais-tu vérifier ce que j’ai écrit ci-dessus ?

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en λ la relation…

Merci, j’ai essayé de me lancer mais je bloque un peu sur le membre de gauche :

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \lambda}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] &= \dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda x) + \dfrac{\partial}{\partial y}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda y) + \dfrac{\partial}{\partial z}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda z) \\ &= x \dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)]+ y \dfrac{\partial}{\partial y}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] + z \dfrac{\partial}{\partial z}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] \\ &= x \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial x}(\lambda x) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial y}(\lambda y) + z \dfrac{\partial f}{\partial z}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial z}(\lambda z) \\ &= \lambda \ [x \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) + z \dfrac{\partial f}{\partial z}(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] \end{aligned}$

J’ai pas l’impression que c’est ça.

Pour le membre de droite :

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda ^n \ f(x, y, z)) &= n\ \lambda ^{n-1} f(x, y, z) \end{aligned}$

En fait selon mon corrigé, il suffit de poser $\lambda = 1$ pour retrouver la formule, donc sujet résolu !