limite de sin x sur x

Bonjour,

L’on me dit : sachant que le rapport sin(x)/x est compris entre cos(x) et 1, trouver la limite de ce rapport en distinguant x < 0 et x > 0.

Je ne comprends pas, si x tend vers 0 alors cos(x) tend vers 1 et on peut conclure. Pourquoi faire une distinction de cas?

J’ai déplacé le sujet dans la bonne section du forum.

Je comprend les calculs, mais je ne vois pas en quoi ta réponse réponds à ma question…

J’ai déplacé le sujet dans la bonne section du forum.

oups

J’avoue ne pas comprendre la question: la limite d’un rapport n’a aucun sens. Une limite ne s’étudie qu’aux limites d’un ensemble de définition. Soyons un peu ouverts d’esprit, constatons que sin(x)/x n’est pas défini en 0, les limites étudiables sont donc quand x tend vers -infini, 0, et +infini.

en -infini et +infini, le fait d’être compris entre cos(x) et 1 ne nous aide pas du tout (cela dit, on peut noter que pour x=1000pi, cos(x) vaut 1, et sin(x)/x vaut entre -0.001 et 0.001, donc la propriété est fausse. Au delà de ça, on a une valeur bornée divisée par une valeur qui tends vers l’infini, le rapport tends vers 0 (sans qu’on puisse indiquer son signe).

Aux alentours de 0, cos(x) tend vers 1 quand x tend vers 0 (que ce soit par valeurs négatives ou positives); puisque cos(x)<= sin(x)/x <= 1, on peut en déduire que sin(x)/x tend vers 1. En admettant la propriété qu’on nous fournit en hypothèse, et dont on a démontré qu’elle est fausse. Et je ne vois pas non plus l’intérêt d’étudier séparément l’approche par valeurs supérieurs et inférieures dans ce cas.

et, @Blackline, tu indiques 0+ et 0-, mais ça ne dépend pas de si on tends vers -pi ou pi, mais de si on tends vers ses valeurs par valeurs supérieures ou inférieures. Cela dit, comme sin(x)/x est défini en pi, ça n’a pas grand intérêt de l’étudier comme une limite.

$\lim_{x\to0} sin(x) = x$

Ca veut rien dire. Si tu voulais écrire à la place : $\lim_{ x \to 0}\sin x = \lim_{x \to 0} x$ ça ne veut rien dire non plus car on a aussi : $\lim_{x \to 0} \sin x = \lim_{x \to 0} x^2 = \lim_{x \to 0} 0 = ....$.

Bref, tout ça pour dire que ce que ce que tu avais en tête se note :

$\sin x \sim_0 x$

Malgré la tentative d’explication de Backline, j’ai toujours très peu compris la raison pour laquelle cette distinction est nécessaire.

Je rejoins le message de Jacen, donc, pour l’instant.

Moi aussi je pense à sin x ∼ x au voisinage de 0 pour cette preuve. Cela me semble plus simple.

Ok.

Salut,

La fonction $x \mapsto \dfrac{sin(x)}{x}$ étant paire, on est assurés que la limite en 0+ est la même que celle en 0-.

Pas certain d’avoir compris la question non plus, mais pour moi :

$\lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x) - sin(0)}{x - 0}$

$= sin'(0) = cos(0) = 1$

C’est la définition de la dérivée, qui est un moyen simple d’arriver au résultat.

EDIT : maintenant que j’ai compris l’énoncé, il faut effectivement utiliser le théorème des gendarmes. Mais la distinction de cas semble assez inutile, si ce n’est pour constater que la limite à gauche est la même que la limite à droite.

EDIT 2 : comme $sin(x) \sim_{0} x$ et que $x \sim_{0} x$ (si, si), on a aussi le résultat par quotient d’équivalents.