Irrationnalité de la limite d'une somme d'inverse de factiorelles

Bonjour,

J’ai un exercice de maths sur lequel je bloque. J’ai deux suites, et j’ai démontré qu’elles sont adjacentes. Je n’arrive pas à montrer l’irrationalité de leur limite. Je raisonne par l’absurde.

$u_n = \sum^{n}_{k=0} \frac{1}{k!}$

$v_n = u_n + \frac{1}{n*n!}$

Je pose $l= \frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}$*

Je bloque après avoir écrit que $\forall \in \mathbb{N}\text{*}, u_n*b \leq a \leq v_n*b$

J’aimerais montrer qu’à partir d’un certain rang, a est compris entre deux nombres non entiers dont la différence est inférieure à 1 strictement, mais je ne vois pas comment. Auriez-vous des pistes ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Bien cordialement,

florian6973

Merci beaucoup pour votre réponse !

Effectivement, je n’y avais pas pensé, on a $e = lim_{+\infty} u_n$ d’après les développement limités (mais on ne les a pas encore étudiés en cours).

Je crois avoir trouvé la réponse en multipliant par $(b-1)!$ et en considérant $u_b$ et $v_b$, en sachant que $2 \leq b$ (sinon $l$ est entier) puisque $2.5 \leq u_2$ et $v_2 \leq 2.75$ si l’on prend la forme irréductible de la fraction.