[Résolu] Spectroscopie et commutativité • Forum • Zeste de Savoir

pierre_24, samedi 29 décembre 2018 à 16h10

Absolument, mais je suis gentil avec les gens pour qui le concept d’orbitale atomique (c’est des harmoniques sphériques pour la partie angulaire, btw) n’est pas évident

29/12/18 à 16h10

#JeSuisToujoursArius • Docteur, mais en chimie ⚗️ • dev' quand il peut.

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Banni

blo yhg, samedi 29 décembre 2018 à 20h24
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Merci de vos réponses, c’est vrai que c’est pas du tout évident pour moi les orbitales atomiques.

Techniquement, c’est simple à calculer: pour $xz$ , on devrait prendre le produit scalaire de la représentation pour $x$ et celle pour $z$ , obtenir une nouvelle représentation, et espérer qu’elle soit irréductible.

pierre_24

Je pense que tu voulais dire produit tensoriel et pas scalaire. Voilà ce que je comprends pour la colonne "quadratic" : on fait agir le groupe sur les formes quadratiques, et on regarde comment ça se découpe en représentations irréductibles. Du coup ça me va pour les formes quadratiques et linéaires, mais il reste cette colonne "rotations" que je ne comprends pas.

Pour savoir où va $R_z$ , on fait agir par conjugaison le groupe sur $R_z$ , en espérant qu’on trouve à chaque fois $±R_z$ … ? Mais par exemple dans $D_3$ , que veut dire ce $(R_x, R_y)$  ?

J’ai regardé dans le livre de Serre Représentations linéaires des groupes mais malheureusement il n’y a pas cette partie. D’ailleurs on trouve une définition de $D_{nh}$  : il ne s’agit pas du groupe diédral d’ordre $2nh$ mais du groupe $D_n × ℤ/2ℤ$ .

@Kanaal En fait j’ai compris ce que tu disais pour la preuve du sens réciproque. Si toutes les représentations irréductibles sont de dimension $1$ , c’est qu’il y a autant de classes de conjugaison que d’éléments du groupe et donc le groupe est abélien. Mais je ne vois toujours pas pour l’utilisation du lemme de Schur.

Edit. C’est bon aussi pour le lemme de Schur en fait.

29/12/18 à 20h24
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pierre_24, lundi 31 décembre 2018 à 14h33
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Merci de vos réponses, c’est vrai que c’est pas du tout évident pour moi les orbitales atomiques.

Mais de rien. Je fais les exos du cours de chimie quantique à des mathématiciens, je sais ce que c’est

Je pense que tu voulais dire produit tensoriel et pas scalaire. Voilà ce que je comprends pour la colonne "quadratic" : on fait agir le groupe sur les formes quadratiques, et on regarde comment ça se découpe en représentations irréductibles. Du coup ça me va pour les formes quadratiques et linéaires

En effet, tensoriel. C’est parce que je prend le produit de deux représentations comme un produit scalaire

Pour savoir où va $R_z$ , on fait agir par conjugaison le groupe sur $R_z$ , en espérant qu’on trouve à chaque fois $±R_z$ … ? Mais par exemple dans $D_3$ , que veut dire ce $(R_x, R_y)$  ?

Qu’encore une fois, si tu ne traite pas les deux rotations ensemble, ça ne fonctionnera pas. Le "problème", c’est que c’est un peu abstrait dis comme ça. Il faut que tu imagine que pour en arriver à cette conclusion, je représente une rotation autour d’un axe comme "" (un espèce de $C_2$ , en fait), et que du coup, je regarde si le sens des deux flèches du bout change (ça vaut ce que ça vaut) (ça marcherai aussi si je m’amusait à dessiner un cercle avec une flèche dedans, mais je suis nul en dessin et j’ai pas envie de me taper la honte devant mes étudiants).

Par exemple, pour $D_3$ , on se rend compte que pour $R_z$ c’est facile, $C_3(z)$ laisse le sens tel quel et $C_2$ (qui est ici un $C_2$ perpendiculaire au $C_3$ ) l’inverse, donc que c’est $A_2$ . Par contre, $R_x$ et $R_y$ , dès que tu leur applique un $C_3$ , c’est plus vraiment une rotation autour de $x$ ou $y$ . Encore une fois, ça donne une combinaison linéaire des deux, comme pour les axes cartésien, et il se trouve que ça fini dans la même représentation. J’avoue que j’ai jamais creusé pour trouver un objet "mathématique" qui remplirait la même fonction, ~~mais on pourrait imaginer le faire sur la matrice qui représente $C_2(z)$ , par exemple~~ EDIT: ou pas, ça serait chaud de voir que le sens trigo à changé.

J’ai regardé dans le livre de Serre Représentations linéaires des groupes mais malheureusement il n’y a pas cette partie. D’ailleurs on trouve une définition de $D_{nh}$  : il ne s’agit pas du groupe diédral d’ordre $2nh$ mais du groupe $D_n × ℤ/2ℤ$ .

blo yhg

Et chez nous, $D_{nh} = D_n \times \{E, \sigma_h\}$ (ou $\sigma_h$ est un plan de symmétrie perpendiculaire à l’axe principal $C_n$ )

31/12/18 à 14h33
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#JeSuisToujoursArius • Docteur, mais en chimie ⚗️ • dev' quand il peut.

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Banni

blo yhg, vendredi 11 janvier 2019 à 20h15

J’avoue que j’ai jamais creusé pour trouver un objet "mathématique" qui remplirait la même fonction

Oui c’est ça que je cherche… Je ne comprends pas ce que ça veut dire que quand on applique $C_3$ à $R_x$ ça donne une combinaison linéaire de $R_x$ et $R_y$ si on ne m’a pas dit ce que c’était que $R_x$ et $R_y$ … Mais j’ai fini par trouver. De manière concrète (mais ce n’est pas la meilleure manière de voir la chose) :

Les $R_x$ , $R_y$ et $R_z$ correspondent à l’action par conjugaison du groupe sur les matrices antisymétriques. (C’est de dimension $3$ , donc une base de $3$ éléments.)
Les $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ , $xy$ , $xz$ et $yz$ correspondent à l’action par conjugaison du groupe sur les matrices symétriques. (C’est de dimension $6$ , donc une base de $6$ éléments.)

Le résultat de l’action par conjugaison de $M$ sur $N$ , c’est $M N M^{-1}$ .

Par exemple, pour le groupe ponctuel de symétries $D_3$ , l’élément $C_3$ est représenté par la matrice $\begin{pmatrix}\cos(2\pi/3)&-\sin(2\pi/3)&0\\\sin(2\pi/3)&\cos(2\pi/3)&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $C_2$ par la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ . On représente $R_x$ et $R_y$ par les matrices respectives $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$ .

Si on calcule $C_3 R_x C_3^{-1}$ , on trouve la même chose que $\cos(2\pi/3) R_x - \sin(2\pi/3) R_y$ . Plus généralement, si $g ∈ D_3$ , alors la matrice de $aR_x + bR_y ↦ g (aR_x + bR_y) g^{-1}$ en base $(-R_x, R_y)$ est la même que la matrice correspondant à $g$ pour la représentation de dimension $2$ de $D_3$ . C’est ça que veut dire le $(R_x, R_y)$ dans la ligne de la représentation de dimension $2$ .

Je trouve que cette information est difficile à récupérer sur internet… (j’ai pas réussi)

11/01/19 à 20h15

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