intégrabilité

Oui, en fait je n’avais pas pensé à ce cas "classique" (dans le sens : source de nombreux contre-exemples). Donc, je crois que ce que j’ai fais ne marche que dans le cas ou les $f_n$ sont définies sur des ensembles fixes ne dépendant pas de $n$. C’est à dire qu’elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$. A moins qu’il y est un cas que j’ai encore loupé mais je ne crois pas, parce-que le seul moyen d’avoir une fonction qui n’est pas mojarable comme je l’ai fais (avec une fonction intégrable) c’est qu’elle "grandit en hauteur mais dimininue en largeur". On est d’accord ?

Entre les mojaration et les dimininutions, on s’y perd.

À part ça, je ne vois pas trop ce que tu fais. J’ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par « elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$ ». Les $f_n$ sont toutes définies partout sur un ensemble fixe ne dépendant pas de $n$. On peut les prendre continues par morceaux si c’est ce que tu voulais dire, mais ça ne change rien.

Dans ce que tu dis, il n’y a aucune raison pour que ton $g$ soit intégrable. Oui, en général pour appliquer le théorème de convergence dominée, le plus petit majorant possible est le suprémum de toutes les fonctions de la suite (en valeur absolue). Et justement, il se peut qu’il ne soit pas intégrable.

D’ailleurs, cela donne une preuve que $∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n} = ∞$. En effet, si cette somme était finie, alors on pourrait appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions $𝟙_{[0,1/n]} n$ (ça demande un petit calcul avec un dessin à côté). Ça implique que la suite constante à $1$ converge vers $0$.

edit D’ailleurs une fonction peut n’être nulle part continue mais être intégrable, par exemple l’indicatrice de $ℚ$.

Au sens de Lebesgue peut-être mais pas au sens de Riemann.

Oui. J’ai dit ça parce qu’en général, quand on dit « $f$ est non intégrable », ça veut dire que $∫ |f| = ∞$, et pas que $f$ est non intégrable parce qu’elle n’est pas assez régulière (dans le cas de l’intégrale de Riemann c’est ce que tu dis mais dans le cas de Lebesgue ça arrive encore moins souvent).

Voilà qui me semble être un bon début.

C’est très standard de toute manière, toutes les notes de cours vont dire un peu la même chose. Celles-là m’ont l’air correctes. Mais je n’aime pas la preuve classique du théorème de Carathéodory. Il existe une approche topologique beaucoup plus intuitive qu’on ne trouve presque nulle part (il m’a fallu recoller les morceaux pour l’avoir en entier). C’est dommage que tous les cours se répètent.

Entre les mojaration et les dimininutions, on s’y perd.

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À part ça, je ne vois pas trop ce que tu fais. J’ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par « elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$ ». Les $f_n$ sont toutes définies partout sur un ensemble fixe ne dépendant pas de $n$. On peut les prendre continues par morceaux si c’est ce que tu voulais dire, mais ça ne change rien.

Oui excuse moi pour le manque de clarté. Quand je disais définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure dépend de $n$, c’est à dire sur des ensembles dont les bornes sont des fonctions de $n$.

Par exemple, dans le contre exemple que tu as donné on a : $f_n(x) = n$ si $x \in [0,1/n]$, $0$ sinon. Ainsi si $f$ est définie par morceaux sur des intervalles dont les bornes dépendent de $n$, car : $[0, 1/n]$ à une taille qui varie en fonction de $n$. A l’inverse la fonction : $f_n(x) = nx$, si $x \in [0, 1]$, $1$ sinon, est définie sur des intervalles fixes. Quelques soit $n$ cette fonction vaudra toujours $nx$ sur $[0, 1]$.

C’est ça ce que je voulais dire par être définie sur des intervalles dépendant de $n$.

Dans ce que tu dis, il n’y a aucune raison pour que ton $g$ soit intégrable. Oui, en général pour appliquer le théorème de convergence dominée, le plus petit majorant possible est le suprémum de toutes les fonctions de la suite (en valeur absolue). Et justement, il se peut qu’il ne soit pas intégrable.

Là en l’occurrence il l’est puisque $g$ est constant. Je prend juste $g$ comme le majorant de tous les $f_n$ qui existe par hypothèse. Dans le deuxième cas c’est pareil (par contre j’avais oublié un $\sup$ donc j’ai édité). Ainsi normalement mes deux fonctions sont bien intégrables.

Donc en fait sauf si tu décèle une erreur, je pense que ce que j’ai fais permet de prouver le théorème suivant :

Soit $f_n$ une suite de fonctions intégrables $I \rightarrow E$ définie sur des sous-ensembles de $I$ dont la mesure ne dépend pas $n$, et tels que : $\int_{I} \mid f_n \mid < M$. Si la suite $f_n$ converge simplement vers $f$ alors on a : $\int_{I} \mid f \mid < M$

Oui. J’ai dit ça parce qu’en général, quand on dit « $f$ est non intégrable », ça veut dire que $∫ |f| = ∞$, et pas que $f$ est non intégrable parce qu’elle n’est pas assez régulière (dans le cas de l’intégrale de Riemann c’est ce que tu dis mais dans le cas de Lebesgue ça arrive encore moins souvent).

Ok.

Dans tous les cas je ne vais pas commencer tout de suite. Le théorème Carathéodory je l’avais déjà fais comme exo, et ma démonstration était assez intuitive je trouve. Après peut-être qu’on parle pas du même théorème, moi c’est celui qui dit : Montrer que tout élément de l’enveloppe convexe de $A$ est un barycentre à coefficients positifs de $n+1$ points de $A$.

edit : oublie d’une valeur absolue.

C’est ça ce que je voulais dire par être définie sur des intervalles dépendant de $n$.

Donc tu veux dire continues par morceaux, au final ?

Là en l’occurrence il l’est puisque $g$ est constant. Je prend juste $g$ comme le majorant de tous les $f_n$ qui existe par hypothèse. Dans le deuxième cas c’est pareil (par contre j’avais oublié un $\sup$ donc j’ai édité). Ainsi normalement mes deux fonctions sont bien intégrables.

Dans la nouvelle deuxième définition, $g$ n’a toujours pas de raison d’être finie. Par quelle hypothèse est-ce que $g$ est fini dans le deuxième cas ?

Donc en fait sauf si tu décèle une erreur, je pense que ce que j’ai fais permet de prouver le théorème suivant :

Soit $f_n$ une suite de fonctions intégrables $I \rightarrow E$ définie sur des sous-ensembles de $I$ dont la mesure ne dépend pas $n$, et tels que : $\int_{I} \mid f_n \mid < M$. Si la suite $f_n$ converge simplement vers $f$ alors on a : $\int_{I} \mid f \mid < M$

Mais de toute manière, dans ce que tu dis, la conclusion est que $∫ |f_n|$ converge vers $∫ |f|$, n’est-ce pas ? Pourtant, ça c’est faux.

Tu avais dit dans ton message présentant ton raisonnement :

il nous faut donc prouver que si l’intégrale des $∣f_n∣$ est majorée par une constante $M$ alors il existe une fonction intégrable $g$ qui domine les $∣f_n∣,∀n$.

Mais c’est faux, ça, donc tu ne vas pas pouvoir le prouver. Même avec des hypothèses sur la régularité des $f_n$, ça reste faux, ce n’est pas le problème.

On ne parle pas du même théorème de Carathéodory (je parle de celui « d’extension de mesure »), mais tu verras quand tu liras. Voir ici. L’approche topologique dont je parle est donnée dans cette réponse.

Juste pour dire que j’ai récemment lu un truc sympa sur pourquoi le TCD ne marche pas, si on a pas l’hypothèse de domination.

Déjà, on peut se placer dans $L_1(\mathbb{R})$, et on considère la $1$-norme : $\| \cdot \|_1$. L’idée c’est alors de remarquer qu’on a des actions de groupes non-compacts qui sont des isométries pour la $1$-norme sur cet espace. Par exemple le changement de variable est une isométrie sur cet espace.

On peut donc par exemple définir les actions de dilations et de translations :

Or les orbites de ces actions sont majorées (on est dans $L_1(\mathbb{R})$ ) mais elles ne sont pas compacts.

Donc en fait le problème majeur, est que l’on travaille sur un espace normé sur lequel on peut définir une norme tel qu’il existe des actions de groupes préservant la norme mais qui ont des orbites non compacts. ce qui est intéressant c’est que ça nous donne une manière plus général d’étudier (sur d’autres espaces que $L_1$) ces notions de convergence :

Ca ne donne pas trop l’intuition (encore faut il comprendre pourquoi les orbites ne sont pas compact intuitivement) mais ça permet d’avoir une meilleur abstraction des idées misent je trouve.

J’ai un peu du mal à voir le lien avec la convergence dominée. C’est vrai que les deux manière pour que la masse s’échappe est de soit la condenser autour d’un point (action par dilatation), soit la condenser "autour de l’infini" (action par translation). Mais déjà le théorème de convergence dominée est valable pour des espaces différents de $ℝ$, et ensuite j’ai du mal à voir le lien. Au contraire j’aurais envie de dire que si on prend une fonction de support borné, son orbite va être précompacte (d’adhérence compacte) pour la topologie de la convergence point par point, donc « presque compacte » (mais converge vers 0 alors que la norme 1 est constante à 1).

Mais je ne vois pas l’avantage de formuler ça en terme d’action de groupe (de toute manière dans les contre-exemples on peut faire varier les fonctions un peu, pas besoin que ce soit exactement l’orbite par tes actions). Bref, je ne vois pas en quoi ce que tu dis est un problème majeur pour la convergence dominée, déjà parce que je ne vois pas dans quel contexte on se placerait en général.

Où as-tu lu ça ? Pour que je puisse aller voir.

Et puis la condition est assez intuitive. Est-ce que tu vois pourquoi on a dans un espace mesuré fini que si un suite de parties $A_n$ converge vers une partie $A$, alors la mesure de $A_n$ converge vers la mesure de $A$, mais que ce n’est pas vrai dans un espace mesuré infini ?

J’ai un peu du mal à voir le lien avec la convergence dominée. C’est vrai que les deux manière pour que la masse s’échappe est de soit la condenser autour d’un point (action par dilatation), soit la condenser "autour de l’infini" (action par translation). Mais déjà le théorème de convergence dominée est valable pour des espaces différents de $ℝ$, et ensuite j’ai du mal à voir le lien. Au contraire j’aurais envie de dire que si on prend une fonction de support borné, son orbite va être précompacte (d’adhérence compacte) pour la topologie de la convergence point par point, donc « presque compacte » (mais converge vers 0 alors que la norme 1 est constante à 1).

Ca permet de montrer que si on a suite de fonctions $f_n \to f$ avec les $f_n$ dans $L_1(\mathbb{R})$, alors on s’intéresse à : $\| f_n - f\|_1$ d’ou l’intérêt de se demander si l’action de ces orbites sont compacts.

Mais je ne vois pas l’avantage de formuler ça en terme d’action de groupe (de toute manière dans les contre-exemples on peut faire varier les fonctions un peu, pas besoin que ce soit exactement l’orbite par tes actions). Bref, je ne vois pas en quoi ce que tu dis est un problème majeur pour la convergence dominée, déjà parce que je ne vois pas dans quel contexte on se placerait en général.

Bien sûr, bien sûr. Je voulais juste faire part de ça, non pas parce-que ça donne l’intuition mais parce-que souvent c’est bien d’avoir un point de vue plus abstrait en parlant d’espaces etc… Personnellement ça me permet de mieux comprendre les idées misent en jeu, et de pouvoir mieux réfléchir quand on se place sur des espaces plus abstraits.

Où as-tu lu ça ? Pour que je puisse aller voir.

La deuxième réponse ici : ce que j’ai dit en plus clair

Je n’ai pas fais de théorie de la mesure Dans le cas de $\mathbb{R}$ si la mesure de l’intervalle est définie comme sa longueur alors oui c’est évident.

Hum, d’accord, c’est intéressant. Je ne connais pas le principe de concentration-compacité. J’ai toujours pas trop trop compris le lien, je trouve le post sur math.stackexchange beaucoup trop flou pour qu’on puisse y comprendre quelque chose (sans connaître le sujet à l’avance du moins). La personne se contente de dire « c’est pour telle raison » mais sans expliquer le lien entre la raison et la conséquence.

J’aimerais mieux comprendre, je suis allé voir sur l’article sur le blog de Terence Tao et c’est intéressant mais ça ne m’aide pas beaucoup à faire le lien. Tant pis.