Bonjour/Bonsoir,
Il semblerait que je sois revenu ! (A vrai dire je ne suis jamais vraiment parti.) Je prévois de faire un up de mon sujet. Dans quelques mois cela fera un an et j’aimerais plus ou moins vous expliquer un peu tout ce qu’il a pu m’arriver. Mais je m’arrête, ce n’est pas le sujet.
Comme vous avez pu le voir grâce au titre du sujet je "m’intéresse" (à mon niveau) à la non linéarité et aux problèmes nécessitant des équations non linéaires.
Tout d’abord, de ce que j’ai compris(cru comprendre?) :
- La non linéarité correspondrait à une situation où la sortie ne serait pas proportionnelle à l’entrée. Là, aucun problème pour comprendre. Le premier réflexe que j’ai eu a été d’aller voir sur Wikipedia afin d’essayer de comprendre le terme "non-linéarité". Je ne sais pas si j’ai une bonne intuition ou pas, mais je trouve cette définition très réductrice(d’un autre côté, je n’ai absolument pas le recul nécessaire afin d’en juger convenablement).
- Le jacobien est un outil important pour tenter de résoudre une équation non linéaire. (En revanche pourquoi l’est-il ? Là je n’ai pas réussi à voir de lien.) Concernant le jacobien, j’ai mis une bonne dizaine de minutes avant d’avoir l’impression de comprendre. Je suis allé faire quelques exercices très basiques, par exemple calculer la matrice jacobienne de
$F(x, \space y) = (2x^2-y, \space -\frac{1}{2}yx, \space 13, \space 12x^9)$
Ce à quoi je trouve :
$J_F = \begin{pmatrix} 4x & -1 \\ -\frac{1}{2}*y & -\frac{1}{2}*x \\ 0 & 0 \\ 108x^8 & 0 \end{pmatrix}$
(En revanche à partir de là je suis un peu bloqué pour calculer le jacobien… Je ne sais pas si il est possible de passer d’une matrice quelconque à une matrice carrée. Je suis tombé sur quelques liens dont celui ci mais il commence à se faire tard. Je sais que ce n’est pas le sujet mais si vous avez la réponse je suis preneur!)
AJOUT: Je crois avoir trouvé :
A partir de la matrice jacobienne que j’avais déterminé, j’ai trouvé une formule permettant de calculer le déterminant d’une matrice $\mathcal{M}_{n, \space m = 2}(\mathbb{K})$ :
$\text{det}(J_F) = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} (-1)^{p_{i, j}} \begin{vmatrix} a_{i, 1} & a_{i, 2} \\ a_{j, 1} & a_{j, 2} \end{vmatrix}$
avec $p_{i, j} = \left\{\begin{aligned} j - \frac{i}{2} + \frac{(-1)^i}{4}+\frac{3}{4} & \text{ si n est pair} \\ j - \frac{i}{2} - \frac{(-1)^i}{4}+\frac{9}{4} & \text{ si n est impair} \end{aligned}\right.$
- $i \space = \space 1; \space j \space = \space 2 \Longrightarrow p_{i, j} = 4$
- $i \space = \space 2; \space j \space = \space 3 \Longrightarrow p_{i, j} = 3$
- $i \space = \space 3; \space j \space = \space 4 \Longrightarrow p_{i, j} = 5$
$\text{det}(J_F) = 1 * \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{vmatrix} + -1 * \begin{vmatrix} a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} \end{vmatrix} + -1*\begin{vmatrix} a_{3, 1} & a_{3, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{vmatrix}$
$\text{det}(J_F) = 1 * \begin{vmatrix} 4x & -1 \\ -0.5y & -0.5x \end{vmatrix} + -1 * \begin{vmatrix} -0.5y & -0.5x \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + -1*\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 108x^8 & 0 \end{vmatrix}$
$ \Im_F = \text{det}(J_F) = 0 + 0 + [(4x*-0.5x) - (-1*-0.5y)] = -2x^2-0.5y$
Puis tenter de retrouver $F(x, \space y)$ en fonction de la matrice jacobienne. J’en ai déduit que certaines fois, il est impossible de retrouver la même fonction(je suis presque certain que l’on n’appelle pas ça une fonction, peut-être l’argument de la transformée ou quelque chose comme ça ?) car : $\int \space 0 \space \mathrm dx \space = \space C$. Et également en intégrant $-\frac{1}{2}y$ (par rapport à x) et $-\frac{1}{2}x$ (par rapport à y), je ne tombe pas sur le bon résultat 
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Bien évidemment, je suis certain que je ne saurais pas quand est ce qu’il faut utiliser le jacobien, mais j’ai compris le mécanisme(du moins je pense). J’ai également vu que c’était une généralisation de l’opérateur gradient pour plusieurs variables. J’espère au moins ne pas m’être trompé sur le calcul de la matrice jacobienne 
.
(Un de mes plus gros problèmes est que je ne sais pas quand utiliser quel outil. Du moins, je n’ai ce problème que quand je touche à des choses plus compliquées que ce que je fais en seconde.)
- Passer par des méthodes de calcul numérique ne réglera pas forcément le problème, le fait que la précision de l’arithmétique d’un ordinateur soit fini pose des problèmes. On a donc de grosses pertes de précision et on passe d’une représentation de f continu à une représentation discrète. Ca nécessite des calculs absolument monstrueux. Et on ne possède pas de méthode générale pour résoudre un problème impliquant de la non-linéarité.
Ma principale question est de savoir qu’est ce qui rend une équation non linéaire (mathématiquement parlant) ? Je ne pense pas que ce ne soit qu’un simple terme ajouté à n’importe quelle équation qui la rend non linéaire. Je n’arrive pas à me représenter ce qu’est une équation non linéaire. (J’ai également cru comprendre qu’il y a une notion de "référentiel" pour déterminer si l’équation est linéaire ou non(une équation peut ne pas être linéaire en x mais l’être en sin(x) par exemple). Mais je n’ai pas totalement compris cela.) Et auriez vous des exemples concrets (physiquement parlant) ? Après quelques recherches je suis tombé sur la notion de soliton, apprenant qu’il est solution de nombreuses EDP non linéaires, mais à part ça je n’ai pas compris grand chose. Je suis également tombé sur l’équation de Schrödinger semi-linéaire qui introduit un "terme de réaction non linéaire" :
$i\frac{\partial u(t, \space x)}{\partial t} + \Delta u(t, \space x) + f(t, \space x, \space u(t, \space x)) = 0$
Je me demandais tout d’abord quel est le terme de réaction non-linéaire(ce doit être le second ou le troisième mais j’ai plus un penchant pour le troisième, le second me parait contenir l’opérateur laplacien de dimension 2) et surtout que représente t’il mathématiquement parlant? Je n’arrive pas à me représenter ce à quoi le terme "non-linéaire" correspond intrinsèquement.
Lorsque j’aurai compris ce que signifie la non-linéarité, viendra un nouveau problème : Comment résout-on ces équations ? Je me doute que c’est tout une partie du programme dans le supérieur et que c’est loin d’être aisé mais quels en sont les prérequis ?
En continuant sur cette voie, je me demande si la résolution d’EDP non linéaire du n-ième ordre, bien que forcément plus complexe, nécessite la même manière de penser ?
J’ai encore beaucoup de questions à poser mais je souhaitais tout d’abord poser mes questions les plus "terres à terres", un peu bê-bête j’imagine. Et je m’en excuse d’ailleurs.
PS: A vrai dire, c’est presque de la culture G., je ne fais ça dans aucun but précis, hors comprendre car ça m’intéresse.
PS2: Je pense faire un petit edit (mais ne suis pas certain) car je trouve qu’il manque certaines choses.
Cordialement,
Garnier Mathias.
