Où placer son routeur Wi-Fi?

À propos des ondes électromagnétiques

Une onde est la propagation d’une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales du milieu et dont la vitesse de propagation dépend des caractéristiques du milieu en question. Plus précisément, une onde électromagnétique est l’oscillation du champ électrique (et magnétique) générées par des particules chargées qui accélèrent (ou par un dipôle oscillant).

Quand on parle de rayonnement électromagnétique, les équations de Maxwell ne sont jamais bien loin. Sous les conditions adéquates, la propagation d’une onde est régie par l'équation inhomogène des ondes (ou équation d’Alembert dans sa version homogène):

$\nabla^2 \mathcal E(\vec x, t) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathcal E(\vec x, t) = -S(\vec x, t), \text{ avec } \nabla^2 = \sum_i^{x,y,z} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2},$

où $c$ est la vitesse de l’onde (qui, dans le vide, correspond à la vitesse de la lumière) et $S(\vec x, t)$ est généralement appelée "fonction source", car elle décrit les effets de la source d’onde sur le milieu. C’est une équation différentielle, ce qui signifie que toute fonction $\mathcal E(\vec x, t)$ qui vérifie cette équation décrit effectivement le comportement d’une onde.

Par exemple: une onde monochromatique, c’est à dire $\mathcal E(\vec x, t) = E(\vec x)\,e^{-i\omega t}$, où $\omega$ est la pulsation de l’onde, avec $\omega = \frac{2\pi\,c}{\lambda}$ ($\lambda$ est la longueur d’onde). En effet, en supposant $S(\vec x, t)=s(\vec x)e^{-i\omega t}$, si on substitue dans l’équation ci-dessus,¹

ou encore, en définissant le nombre d’onde $k = \frac{\omega}{c}$,

$\boxed{\nabla^2 E(\vec x) + k^2\,E(\vec x) = -s(\vec x)}.$

Cette dernière version est appelée équation (inhomogène) d’Helmholtz. Elle décrit le comportement scalaire d’une onde monochromatique, c’est à dire son intensité en fonction de la position.

Pour ajouter à la difficulté, cette équation n’est valable que pour un milieu homogène, dans lequel la vitesse de l’onde est constante. Si on passe d’un milieu à un autre, la vitesse de l’onde change, selon le principe de la réfraction (qui modifie également l’angle) et plus particulièrement de la loi de Snell-Descartes. Puisqu’on cherche à simuler l’évolution d’une onde dans un milieu complexe (contenant à priori de l’air et des murs), on va donc modifier notre formule:

$\nabla^2 E(\vec x) + [n(\vec{x})\,k]^2\,E(\vec x) = -s(\vec x),$

où $n(\vec x)$ est une fonction dont le sens est le même que celui de l'indice de réfraction: $n(\vec x) = 1$ pour une portion de l’espace composée d’air, $n(\vec x) > 1$ si on a autre chose.

Ceci dit, cela ne suffit pas: en effet, cette modification permet de tenir compte des propriétés de réfraction d’un mur (diffusion de l’onde dans le matériau et réflexion partielle de l’onde à l’interface avec celui-ci), mais ne modélise pas l'absorption d’une partie de l’onde par le mur (si ce n’était pas le cas, les ondes traverseraient le mur avec à peu près la même intensité en sortie qu’en entrée, et le monde serait à la fois plus simple et plus compliqué). Pour faire cela, une manière de faire est de donner une certaine conductivité électrique à notre matériau, et donc modifier notre équation comme suis:²

$\boxed{\nabla^2 E(\vec x) + \left\{[n(\vec{x})\,k]^2-i\,k\,\sigma(\vec x)\right\}\,E(\vec x) = -s(\vec x)},$

où $\sigma(\vec x) = 0$ dans l’air et $\sigma(\vec x) > 0$ dans un matériau absorbant, et $i=\sqrt{-1}$.

C’est cette équation que nous allons tenter par la suite de résoudre. Encore une fois: toute fonction $E(\vec x)$ qui vérifie cette équation décrit le comportement de notre onde dans le milieu (complexe) que nous allons considérer. Néanmoins, cette fonction est difficile à obtenir analytiquement pour une raison assez évidente: elle dépend de $s(\vec x)$. Dit autrement, l’intensité de l’onde à une position donnée dépend de la source qui la génère (oui, ça semble assez logique dit comme ça ).

À la recherche d’une solution

Puisque obtenir une solution analytique est hors de question (exceptés cas très particuliers tels que $s(\vec x) = 0$), on va se tourner vers une solution numérique en utilisant la méthode des différences finies. Le principe est le suivant: on peut approximer une dérivée sur une dimension comme suis:

$\frac{df}{dx} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \text{ et } \frac{d^2f}{dx^2} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2\,f(x)}{h^2},$

où $h$ est choisi en pratique suffisamment petit pour donner une bonne approximation de la dérivée.

Si on défini une grille de points en 2 dimensions composées de $\ell \times L$ rectangles de taille $(h_x, h_y)$ et où $E_{i,j}$ est la valeur de $E(\vec x)$ au point $\vec x = (i, j)$ sur la grille, on a

$\nabla^2 E(\vec x) = \frac{\partial^2 E(\vec x)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E(\vec x)}{\partial y^2} = \frac{E_{i-1,j}+E_{i+1,j}-2E_{i,j}}{h_x^2}+\frac{E_{i,j-1}+E_{i,j+1}-2E_{i,j}}{h_y^2}.$

Dès lors, notre équation différentielle devient

$\frac{E_{i-1,j}+E_{i+1,j}}{h_x^2}+\frac{E_{i,j-1}+E_{i,j+1}}{h_y^2} + \left\{\beta_{i,j}-\frac{2}{h_x^2}-\frac{2}{h_y^2}\right\}\,E_{i,j} = -s_{i,j}, \text{ avec } \beta_{i,j} = [n_{i,j}\,k]^2-i\,k\,\sigma_{i,j}$

et ce pour chaque point $(i, j)$ de notre grille. Autrement dit, on a un ensemble de $\ell \times L$ équations à résoudre, dont les inconnues sont les $E_{i,j}$. On peut représenter ce problème sous forme matricielle, après avoir condensé nos éléments $E_{i,j}$ et $s_{i,j}$ en deux vecteurs colonnes:

ou plus simplement $\mathbf A\,\vec E = -\vec s$. Déterminer $\vec E$ revient donc à inverser $\mathbf A$, puisque $\vec E = -\mathbf A^{-1}\,\vec s$.

Problème de limites et limites du problème

On ne simule par un problème infini, loin s’en faut. Il faut donc gérer ce qui se passe aux limites de la simulation, en imposant des conditions au limite. Par exemple, pour déterminer $E_{0,0}$, on a besoin de $E_{-1,0}$ et $E_{0,-1}$, qui n’existent pas.

Plusieurs solutions s’offrent à nous, mais certaines sont plus intéressantes dans ce cas que d’autre. Soit $\Omega = [0,\ell) \times [0,L)$ notre domaine de simulation, dont les limites sont notées $\partial\Omega$.

1. Conditions aux limites de Dirichlet: définir aux limites du domaine une valeur pour la fonction. Typiquement, on va définir $\forall \vec x\in \partial\Omega: E(\vec x)=0$. Bien que ce choix semble anodin (voir arbitraire), il a une conséquence intéressante: notre onde ne peut pas sortir du domaine de simulation (puisque sa valeur est de zéro en dehors de $\Omega$).

2. Conditions aux limite de Neumann: à l’inverse, c’est cette fois la valeur de la dérivée de $\vec E$ en $\partial\Omega$ qui sont fixées. En pratique, il suffit alors de rajouter un certain nombres d’équations le long de $\partial\Omega$ dans notre système. Ceci dit, il n’est possible d’obtenir une solution que si $\int s(\vec x)\,d\vec x = 0$, ce qui n’est pas notre cas.

3. Conditions aux limites de Sommerfled: l’énergie rayonnée des sources doit se disperser à l’infini, et aucune energie ne peut rayonner de l’infini. Dans notre cas, cela revient à satisfaire

   $\lim_{|\vec x| \to \infty} |\vec x|^{\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial}{\partial |\vec x|} - ik \right) E(\vec x) = 0$

   dans toutes les directions $\vec x$ à partir de la source.

Bien entendu, c’est la troisième condition qui est la plus adaptée à notre cas. Néanmoins, elle est un peu compliquée à mettre en place, et je vais donc tricher, en entourant le domaine de simulation d’une couche absorbante³ $\Omega_{abs}$ d’une certain épaisseur, et dont les caractéristiques seront $\forall \vec x\in\Omega_{abs}: n(\vec x) = 1 \land \sigma(\vec x) \gg 0$, combiné avec une condition de Dirichlet aux limites de celle-ci: $\forall \vec x \in \partial\Omega_{abs}: E(\vec x)=0$.

En entrée

Maintenant qu’on sait ce qu’on veut simuler et comment on veut le simuler, voyons comment je m’y suis pris. Je souhaitais pouvoir partir d’une image telle que celle-ci:

Construction de la fonction source, contraste et conductivité

À partir de cette image, j’extrais une matrice $\mathcal I$ qui contient les valeurs RGB des pixels de l’image, et je construis $n_{i,j}$, $\sigma_{i,j}$ et $s_{i,j}$ (chaque pixel correspond à une valeur $(i,j)$, par simplicité). En l’occurrence, j’ai simplement choisi:

$n_{i,j} = \begin{cases}2.4 & \text{si } \mathcal I_{i,j} = \text{noir}, \\ 1 & \text{sinon}.\end{cases}, \sigma_{i,j} = \begin{cases}0.1 & \text{si } \mathcal I_{i,j} = \text{noir}, \\ 1 & \text{ si } (i,j) \in\Omega_{abs},\\ 0 & \text{sinon}.\end{cases} \text{ et } s_{i,j} = \begin{cases}1 & \text{si } \mathcal I_{i,j} = \text{rouge}, \\ 0 & \text{sinon}.\end{cases}$

Les valeurs choisies sont purement arbitraires. En pratique, la valeur de 2.4 n’est pas trop éloignée de la valeur de l’indice de réfraction d’un mur (en béton), d’après mes prédécesseurs.¹ La valeur de 0.1 pour la conductivité est probablement exagérée au regard des valeurs typiques pour d’autres matériaux (bien que cela dépende de la longeur d’onde employée). Finalement, la valeur de 1 pour la source est purement arbitraire, puisque ce qui m’intéresse ici c’est le contraste.

Je rajoute également une couche d’absorption autour du domaine. Pour sa taille, on conseille de la choisir équivalente à la longueur d’onde (le nombre de cases auquel cela va correspondre dépend de la résolution du plan). Une onde oscillant à 2.4 GHz correspond à une longueur d’onde d’environ 12 cm. À noter que dès lors, $k=50.3$.

À propos de la résolution

Le choix de la résolution est plus important qu’il n’y parrait: on ne peut pas choisir n’importe quoi et espérer s’en sortir. En effet, la solution de l’équation d’Helmholtz dans le cas le plus simple [$n(\vec x)=1$, $\sigma(\vec x)=0$, $s(\vec x)=0$ et avec une condition limite de type Dirichlet] est $\sin(kx)$.

La distance entre deux maximums est d’à peu près 12 cm, c’est à dire la longueur d’onde. Si on veut obtenir ce résultat de manière correcte, il faut choisir une résolution suffisante (pour ceux qui savent ce que c’est, ça doit vous rappeler un problème d’échantillonnage). Typiquement,

$h = \frac{2\pi}{k\,n},$

où $n$ est le nombre de point qu’on souhaite utiliser pour décrire notre signal entre deux maximum.

Résolution du système d’équation

Une conséquence du point précédent, c’est que le nombre d’inconnue est très important: autant que le nombre de pixels que contient l’image, plus celles pour la couche absorbante de taille $a$, plus celles pour les conditions de Dirichlet, pour un total de $N = (\ell + 2a + 2) \times (L + 2a + 2) - 2$. Si ça semble déjà beaucoup, rappelez vous que la matrice $\mathbf A$ que nous devrons construire contient $N^2$ éléments (puisque chaque ligne correspond à l’équation pour un élément $E_{i,j}$).

Heureusement pour nous, cette matrice est essentiellement vide. En effet, chaque ligne ne contient que 5 valeurs non-nulles, correspondant à $E_{i-1,j}$, $E_{i, j-1}$, $E_{i,j}$, $E_{i,j+1}$ et $E_{i+1,j}$. Sur notre exemple précédent, à peu près $1-\frac{5}{N}$ = 99.97% de la matrice est nulle, et ce nombre augmente avec $N$. Pour gagner de la place, on peut imaginer partir du principe que les éléments de la matrice sont tous nuls, et ne stocker que les éléments qui ne le sont pas: c’est ce qu’on appelle une matrice creuse.

Toute bibliothèque un peu sérieuse permettant le calcul matriciel propose une structure de matrice creuse (sparse matrix) et les opérations qui lui sont associées. Dans mon cas, puisque j’utilise Python pour des raisons de facilité, c’est scipy.sparse que j’emploierai. À noter que dans la plupart des langages, une matrice creuse est immutable. Autrement dit, lui ajouter un élément après création est impossible, pour des raisons d’optimisation: il faut en recréer une nouvelle.

Pour créer matrice creuse, par exemple

la documentation recommande la manière suivante (qui est courante dans différentes librairies):

from scipy.sparse import csc_matrix # CSC = Compressed Sparse Column

indices_ligne = [0, 1, 2]
indices_colonne = [0, 1, 2]
valeurs = [1, 2, 3]
# autrement dit, A[0,0] = 1, A[1,1] = 2 et A[2,2] = 3

A = csc_matrix((valeurs, (indices_ligne, indices_colonne)), shape=(3, 3))

En effet, la fonction crée la matrice en utilisant la relation A[indice_ligne[k], indices_colonne[k]] = valeurs[k]. Autrement dit, il faut d’abord en lister les différentes valeurs.

Pour rappel, ce qui nous intéresse, c’est de résoudre le système $\mathbf A\,\vec E = \vec s$. Ceci dit, si on inverse directement $\mathbf A$ pour calculer ensuite $\mathbf A^{-1}\,\vec s$, on risque d’avoir une petite surprise: en effet, autant $\mathbf A$ est effectivement creuse, autant il y a peu de chance que $\mathbf A^{-1}$ le soit, augmentant drastiquement le besoin en stockage ! C’est d’autant plus dommage que $\mathbf A^{-1}$ n’est qu’un intermédiaire. Heureusement, le module d'algèbre linéaire de scipy propose directement la fonction spsolve pour résoudre de tels systèmes, sans explicitement stocker $\mathbf A^{-1}$:

import numpy
from scipy.sparse.linalg import spsolve
s = numpy.array([2, 3, 0])
E = spsolve(A, s) # E = [2, 1.5, 0]

Et vous pouvez vérifier que

Bref, il "suffit" de décrire chacun des éléments de $\mathbf A$ tels que décrit plus haut et le tour est joué. Yapluka

En sortie

Une fois $\vec E$ calculé, il n’y a plus qu’à l’afficher. Plutôt que de représenter directement $\vec E$, je vais m’intéresser à la puissance (en décibels), $P_{i,j} = 20\log_{10}{|E_{i,j}|}$, où $|E_{i,j}|$ est le module de $E_{i,j}$ (qui est un nombre complexe). Une petite échelle de couleur plus tard (et l’utilisation d’un gradient pour détecter le contour des murs), voici le résultat:

On voit que la distribution est loin d’être uniforme. Vu la résolution choisie, c’est loin d’être inattendu (voir plus haut). En particulier, on remarque que les tâches (qui sont les endroits ou l’intensité est importante) sont d’à peu près 6px de hauteur, soit 6 cm dans la réalité, ce qui est raccord avec la longueur d’onde.

Maintenant que j’ai un code fonctionnel ou toutes les constantes citées plus haut (indice de réfraction, conductivité, etc) sont devenu des variables, on va pouvoir s’amuser un peu. Et pour ce faire, je vous présente le plan de mon (ancien !) appartement. 50 m² (soit plus petit que celui de Jason Cole !) rien que pour moi et mon chat:

Disons que le plus intéressant, c’est de capter le Wi-Fi dans la chambre (pour les séries au calme), dans la cuisine (pour les recettes de cuisine et YouTube quand on cuisine) et dans les toilettes (parce que réseaux sociaux). Eh bien le résultat est le suivant:

Clairement, la réflexion sur le mur aide à obtenir un bon signal au niveau de la cuisine et de la toilette. Par contre, et on l’avait déjà vu plus haut, les murs sont assez mauvais pour laisser passer du signal, ce qui fait que celui-ci est bien moins important dans la chambre. Notez bien que noir ne veut pas dire absence de signal, c’est juste une question d’échelle (ici entre -100 et -70 dB).

Changer de position

Évidement, je suis libre de déplacer mon routeur (à condition qu’il y ait une prise adaptée pas loin, ou que j’utilise un RJ45 assez long). Voici quelques résultats:

Ce qu’il faut retenir, c’est que les murs de ma simulation réfléchissent assez bien les ondes Wi-Fi. Je vais vous montrer quel est l’effet de changer l’indice de réfraction juste ci-dessous, mais notez bien que ce n’est pas tout à fait irréaliste: l’indice de réfraction d’un mur est élevé !

Changer l’indice de réfraction des murs

Pour le fun de la chose, imaginons que nos murs ont un indice de réfraction différent de 2.4. Essayons avec 2 extrêmes :

Ces différences s’expliquent par la loi de Fresnel:

La loi de Fresnel énonce que le coefficient de réflexion (c’est à dire le pourcentage de l’onde qui sera réfléchie) évolue comme

$\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.$

Pour $n_1\approx n_2$, le coefficient de réflexion sera très proche de zéro, et une majorité de l’onde sera transmise dans le matériau. À l’inverse, pour $n_1 \ll n_2$, le coefficient de transmission sera beaucoup plus important. À noter qu’il existe un angle pour lequel la réflexion est totale, donné par $\theta = \arcsin(\frac{n_2}{n_1})$, dont on voit bien qu’il diminue si $n_2$ augmente !

Changer la fréquence

Vous n’êtes pas sans savoir que depuis l’article de Jason Cole en 2014, il y a un peu d’eau qui a coulé sous les ponts et que le Wi-Fi à 5 GHz est maintenant courant (bien que la première implémentation de cette idée correspond à la norme IEEE 802.11a de … 1999). Vu que sa fréquence est plus élevée, la vitesse de transmission des données est supérieure avec cette fréquence. Par contre …

… Il passe beaucoup moins bien les murs. Bien que je ne parierais pas ma vie sur la qualité de cette simulation, c’est la réalité: un Wi-Fi 5 GHz est beaucoup plus sensible aux obstacles qu’un Wi-Fi 2.4 GHz, et s’atténuera plus vite.³