Faire des maths comme les anciens babyloniens

Un exemple historique de résolution d'une équation du second degré

Les mathématiques forment une discipline très ancienne, et on retrouve des inscriptions mathématiques remontant à plusieurs millénaires. Un des textes les plus anciens est la tablette d’argile babylonienne BM 13901, datant approximativement du 2e millénaire avant JC. Elle décrit la résolution d’un certain nombre d’équations du second degré.

Nous nous intéresserons ici au premier problème inscrit sur cette tablette pour découvrir les méthodes et le style d’écriture de l’époque et faire ensuite un rapprochement avec les méthodes et notations modernes.

Photographie de la tablette d'argile babylonienne BM 13901, couverte d'inscriptions en cunéiforme et partiellement endommagée.
Photographie de la tablette BM 13901 (source).

Interprétation du problème n°1 de la tablette

Les inscriptions cunéiformes sur la tablette sont incompréhensibles pour les profanes, mais il existe différentes interprétations, plus ou moins proches de l’original et plus ou moins compréhensibles pour nous.

Le texte est écrit en utilisant le système sexagésimal (base 60). L’unité est partagée en soixante parties, qu’on note avec une apostrophe : 1’, 2’, qui sont l’analogue de nos décimales. Ce système survit encore aujourd’hui dans la mesure des angles et les divisions du temps.

Une des interprétations les plus fidèles, utilisant un vocabulaire géométrique proche de l’idée de la langue originale est celle de Jens Høyrup. Le vocabulaire inhabituel rend cela un peu cryptique pour nous :

J’ai joint la surface et le côté de mon carré : c’est 45’. 1, le watsitum,
tu poseras. La moitié de 1 tu couperas. Tu croiseras 30’ et 30’.
15’ et 45’ tu accoleras : 1. 1 a pour côté 1. Le 30’ que tu as croisé,
du cœur de 1 tu arracheras : 30’ est le côté du carré.

Version française de l’interprétation du problème n°1 de la tablette BM 13901 par Jens Høyrup

Avec un vocabulaire plus moderne, on retrouve l’interprétation de Thureau-Dangin :

J’ai additionné la surface et (le côté de) mon carré : 45’.
Tu poseras 1, l’unité. Tu fractionneras 1 en deux : 30’.
Tu croiseras 30' et 30' : 15’.
Tu ajouteras 15' à 45' : 1’.
C’est le carré de 1.
Tu soustrairas 30’, que tu as croisé, de 1 : 30’, le côté du carré.

Interprétation du problème n°1 de la tablette BM 13901 par Thureau-Dangin

Comme nous sommes plus familiers avec la base 10, autant réécrire tout ça pour être plus à l’aise par la suite :

J’ai additionné la surface et (le côté de) mon carré : 0,75.
Tu poseras 1, l’unité. Tu fractionneras 1 en deux : 0,5.
Tu croiseras 0,5 et 0,5 : 0,25.
Tu ajouteras 0,25 à 0,75 : 1.
C’est le carré de 1. Tu soustrairas 0,5, que tu as croisé, de 1 : 0,5, le côté du carré.

Interprétation de Thureau-Dangin convertie en système décimal

Déchiffrer la résolution du problème n°1

Reprenons l’interprétation ligne à ligne pour bien comprendre ce qu’il se passe.

J’ai additionné la surface et (le côté de) mon carré : 0,75.

Il faut comprendre qu’on cherche le côté du carré, qui est donc notre inconnue xx. La surface est donnée par le carré du côté, donc x2x^2. Autrement dit, cette ligne signifie qu’on a l’équation du second degré suivante :

x2+x=0,75x^2 + x = 0{,}75

Tu poseras 1, l’unité. Tu fractionneras 1 en deux : 0,5.

On indique simplement de diviser un par deux. Autrement dit, de calculer 0,5.

Tu croiseras 0,5 et 0,5 : 0,25.

Croiser signifie « multiplier » ; on fait donc le calcul suivant :

0,5×0,5=0,250{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25

Tu ajouteras 0,25 à 0,75 : 1.

Il s’agit d’une simple addition :

0,25+0,75=10{,}25 + 0{,}75 = 1

C’est le carré de 1.

Dit de manière moderne :

1=1\sqrt 1 = 1

Tu soustrairas 1/2, que tu as croisé, de 1 : 1/2, le côté du carré.

Assez simple encore une fois :

1−0,5=0,51 - 0{,}5 = 0{,}5

puis on nous dit qu’il s’agit du résultat final :

x=0,5x=0{,}5

Il est aisé de vérifier qu’il s’agit bien d’une solution de l’équation, donc le calcul proposé fonctionne bel et bien. Comment le rapprocher de nos méthodes actuelles ?

Rapprochement avec la méthode moderne

Si on résume tous les calculs décrits dans la résolution, on voit que c’est le calcul suivant qui aboutit à la solution de l’équation :

x=0,52+0,75−0,5x=\sqrt{0{,}5^2 + 0,75} - 0{,}5

Il est possible de rapprocher cette formule de la méthode moderne de résolution des équations du second degré.

La forme générale d’une équation du second degré peut s’écrire sous la forme suivante, avec aa, bb, cc réels et a≠0a \neq 0 :

ax2+bx+c=0a x^2 + b x + c = 0

Sous réserve que la quantité b2−4acb^2 - 4 a c soit positive ou nulle, il existe deux solutions réelles :

x=−b2a+b2−4ac2ax = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}

x=−b2a−b2−4ac2ax = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}

Quand a=1a = 1, on peut réécrire cette formule comme suit :

x=+(b2)2−c−b2x = + \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}-\frac{b}{2}

x=−(b2)2−c−b2x = - \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}-\frac{b}{2}

Avec b=1b=1 et c=−0,75c = -0{,}75, on remarque que la première des deux formules ci-avant donne exactement le calcul effectué dans la résolution du problème n°1 !

La deuxième formule donne une valeur négative qui ne nous intéresse pas vu qu’on cherche une longueur.

Voilà pour un aperçu de la compétence des anciens babyloniens pour résoudre des équations du second degré !

La tablette présente d’autres problèmes de difficulté croissante, permettant de résoudre de nombreux types d’équations du second degré. La progression vers les méthodes modernes s’est faite sur plusieurs millénaires, avec des avancées remarquables, notamment par les mathématiciens Arabes.

Sources

Pour aller plus loin

5 commentaires

Merci pour ce billet intéressant. Après plusieurs relectures attentives, je ne comprends pas bien comment la méthode babylonienne prétend pouvoir résoudre l’équation x2+x=0,75x^2 + x = 0,75, cependant. Certes, l’inconnue est trouvée, mais je ne vois pas les étapes de résolution de l’équation. Je lis plutôt quelque chose comme :

  • on veut résoudre : x2+x=0,75x^2 + x = 0,75 ;
  • on essaie la solution x=0,5x = 0,5 ;
  • ça marche, CQFD.

J’ai raté quelque chose ?

+2 -0

Alors le texte des tablettes est très succinct, il n’y a pas d’explications détaillées. De ce que j’ai lu, l’objectif n’est pas d’effectuer une démonstration, mais de trouver une réponse au problème. En ça, partir des données du problème pour faire un calcul systématique est efficace. La formule sous-jacente est utilisée pour résoudre de nombreux autres problèmes de la tablette. On a à faire à une méthode par l’exemple.

L’envie de faire des démonstrations plus formelles s’est développée dans l’antiquité grecque, donc bien plus tard.

Par ailleurs, résumer le texte à "on teste la solution 0,5" me paraît très réducteur, il y a un calcul qui est explicité (mais non démontré) qui justifie le résultat obtenu.

Après, c’est certain que les objectifs, méthodes et style sont très différents de ce qu’on fait actuellement. Et garder en tête que les utilisateurs des mathématiques actuellement ne font eux aussi qu’appliquer des recettes qui marchent la plupart du temps.

+1 -0

Il faut aussi se méfier d’une comparaison trop express. C’est très difficile de lire en profondeur un texte historique et de se défaire des préjugés qu’on a

Les babyloniens avaient très probablement des techniques que nous n’appellerions sûrement pas des mathématiques, parce que tout simplement nous faisons des choses très différentes d’eux. C’est pour ça que la notion de contexte historique est particulièrement importante. Y compris sur l’état de nos méthodes de lecture et de traduction des traces du passé qu’il nous reste

+0 -0

Par ailleurs, résumer le texte à "on teste la solution 0,5" me paraît très réducteur, il y a un calcul qui est explicité (mais non démontré) qui justifie la résultat obtenu.

Justement, je ne perçois pas de calcul particulier dans la version babylonienne, je ne comprends d’où sortent ces étapes. Pourquoi commencer par calculer la moitié de 11, par exemple ?

J’ai essayé de résoudre cette équation sur feuille en essayant d’oublier ce que j’ai pu apprendre au lycée (ce qui était chose aisée dans mon cas, mes souvenirs étant déjà très amoindris).

Je ne comprends pas comment on en arrive à faire comme eux, sans redécouvrir la méthode moderne à la main.

+0 -0

Justement, je ne perçois pas de calcul particulier dans la version babylonienne, je ne comprends d’où sortent ces étapes. Pourquoi commencer par calculer la moitié de 111, par exemple ?

Parce que c’est le coefficient devant xx. Je te conseille vivement de regarder l’article de Thureau-Dangin. En regardant plus d’exemples, tu pourras t’approprier la méthode, qui est facile à comprendre avec plus d’exemples. Notamment, tu verras qu’on commence par prendre le coefficient devant xx, systématiquement, puis qu’on met au carré, etc. Les exemples utilisent la même formule sous-jacente, mais sans jamais l’écrire explicitement.

Encore une fois, c’est très différent de la présentation de nos mathématiques actuelles. Et aussi, on ne dispose pas vraiment de contexte par rapport à cette tablette.

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