J’ai trouvé le sujet du bac amusant. Je me suis dit que je pourrais proposer une correction de l’exercice 3 et en discuter avec vous.
On peut trouver le sujet ici.
Partie A
Première question
Le point $P$ se trouve entre 40 et 60 kilomètres du centre et avec un angle compris entre $\pi/4$ et $\pi/2$.
Donc la bonne réponse est la proposition C.
Deuxième question
Pour déterminer le secteur du premier point :
on regarde son module et son argument. Puisque cette écriture est sa forme exponentielle, le module de $z$ est $70$ et son argument est $-\pi/3$. Comme $60\leq 70\leq 80$ et $-\pi/2 \leq -\pi/3 \leq -\pi/4$, il vient que le secteur de $z$ est G4.
Pour le second point :
on commence par le mettre sous la forme :
et on en déduit sa forme exponentielle :
Le module de $z$ est donc $90$ et son argument $2\pi /3$. Cela correspond donc au secteur 5D.
Partie B
Pour cette partie j’ai utilisé cette table pour évaluer les probabilités.
Première question
Je commence par faire correspondre à $M$ une loi centrée et réduite que je désigne par $N_M$. Pour cela, je pose
Ainsi, $M<0$ est équivalent à
Donc, à $10^{—3}$ près,
(Par calcul approché, ou alors en remarquant que $P(M<0) = P(N<-10) = P(N>10) = 1-P(N<10)$ est plus petit que $1-P(N<4\sigma) = 1-P(N<4)$ qui est déjà inférieur à $10^{-4}$.)
Ce résultat dit qu’à $10^{—3}$ près, il est presque sûr que la variable $M$ sera positive. Cela correspond au fait que le module d’un nombre complexe n’est jamais négatif.
Deuxième question
Je réutilise la variable $N_M$ introduite. On a l’équivalence :
Aussi :
donc la probabilité d’un tel évènement à $10^{-3}$ près est :
Troisième question
Les variables $M$ et $T$ étant indépendantes, cette probabilité est donnée par le produit :
Voilà, ça conclut l’exercice.
Il suffit d’utiliser normalFrép sur calculette et on a directement le résultat.
(grillé par Universite)
